Méthode des trapèzes

La méthode des trapèzes ressemble à celle des rectangles, sauf qu’elle utilise… des trapèzes !
On divise toujours l’intervalle \([a,b]\)  en  \(n\) intervalles de taille \(dx\) . 
Pour chacun de ces intervalles, on forme alors un trapèze dont le côté haut correspond au segment joignant les deux valeurs de la fonction aux bornes de l’intervalle considéré.
La somme des aires des trapèzes ainsi construits fournit une estimation de l’intégrale de notre fonction  \(f\) entre  \(a\) et \(b\) . 
Rappelons que l’aire d’un trapèze de hauteur \(h\) , de petite base  \(b\) et de grande base  \(B\) vaut \(\dfrac{B+b}{2} \times h\) .
L'algorithme est donc le même que celui des rectangles. La seule différence est que, au lieu d'ajouter à la variable  \(I\) l'aire du rectangle de largeur  \(dx\) et de longueur \(f(x)\) , on ajoute cette fois l'aire d'un trapèze dont les bases sont de longueurs \(f(x)\)  et \(f(x+dx)\)  et dont la hauteur vaut \(dx\) .

Exercice

1. Compléter l'algorithme suivant permettant d'implémenter la méthode des trapèzes.
2. Donner une valeur approchée de \(\displaystyle\int_1^4 (x^3+2x^2-x+3)dx\)  en prenant \(n=20\) . 
3. Comparer ce résultat avec la méthode précédente. Quel algorithme semble plus efficace ?

def trapeze(f, a, b, n) :
    '''
    Approche l'intégrale de f entre a et b en subdivisant l'intervalle [a,b]
    en n sous-intervalles et en utilisant la méthode des trapèzes
    ----------
    Entrées :
    f : une fonction continue dont on souhaite calculer l'intégrale
    a : un réel, borne gauche de l'intervalle d'intégration
    b : un réel, borne droite de l'intervalle d'intégration
    n : un entier, nombre de subdivisions de l'intervalle [a,b]
    ----------
    Sorties :
    I : un réel, valeur approchée de l'intégrale de f
    '''
    x = ...
    I = ...
    dx = ...
    for i in range(n) :
        I = ...
        x = ...
    return I